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我們的學生時代里總是會出現(xiàn)一些自己非常不理解的題目，zui 常見的就是初中數(shù)學中喜歡一邊加水一邊放水還速率不一的水池管理員。但長大后在工作中發(fā)現(xiàn)在生物行業(yè)生產(chǎn)上這是屬于再正常不過的工藝了。

圖：來源于【路老師的數(shù)學日記】

這種數(shù)學模型常見于生物反應(yīng)器上。細胞是生物行業(yè)內(nèi)zui常見的個體，想大規(guī)模把細胞以理想狀態(tài)培育，營養(yǎng)物質(zhì)濃度、溫度或氧氣含量等參數(shù)都需要精準調(diào)節(jié)。

這個時候我們就需搭建數(shù)學模型來配置DO電極實時監(jiān)控并反饋至控制系統(tǒng)，通過PID來調(diào)節(jié)進氣量等參數(shù)來保證DO數(shù)值的穩(wěn)定。那PID控制具體指的是什么，我們又該如何去調(diào)節(jié)呢?

讓我們先看一下PID控制算法的基本原理：比例（proportional）、積分（integral）、微分（derivative）。這是一種常見的“保持穩(wěn)定"控制算法.

其中：

Kp：比例增益，是調(diào)適參數(shù)；

Ki：積分增益，也是調(diào)適參數(shù)；

Kd：微分增益，也是調(diào)適參數(shù)；

e：誤差=設(shè)定值（SV）- 當前值（PV）；

t：目前時間。

Kp比例控制考慮當前誤差，誤差值和一個正值的常數(shù)Kp（表示比例）相乘。一般來說需要控制的量，比如水溫，有它現(xiàn)在的當前值，也有我們期望的設(shè)定值。比例控制器實際上就是個放大倍數(shù)可調(diào)的放大器，即△P=Kp×e，式中Kp為比例增益，即Kp可大于1，也可小于1。e為控制器的輸入，也就是當前值與設(shè)定值之差，又稱為偏差。

比如在給水加熱的時候，當當前值和設(shè)定值兩者差距不大時，就讓加熱器“輕輕"加熱一下。要是因為某些原因，溫度降低了很多，偏差變大，就讓加熱器“稍稍用力"加熱一下。要是當前溫度比目標溫度低得多，偏差變得更大，就讓加熱器“開足馬力"加熱，盡快讓水溫到達目標附近。

Kp越大，調(diào)節(jié)作用越激進，系統(tǒng)響應(yīng)會加快，Kp調(diào)小會讓調(diào)節(jié)作用更保守。

控制器的積分作用就是為了消除自控系統(tǒng)的余差而設(shè)置的。比如在給水加熱時，當水的溫度接近設(shè)定的溫度時，偏差變小，加熱器的輸出會變小，如果在某個階段，溫度還未達到設(shè)定值，然而加熱量和系統(tǒng)的散熱量相等的時候，溫度不會發(fā)生變化，偏差就不會變化，加熱器的輸出也不會變化，這樣溫度就不會達到設(shè)定溫度，為了消除這種情況，引入積分控制。

所謂積分，就是隨時間進行累積的意思，即當有偏差輸入e存在時，積分控制器就要將偏差隨時間不斷累積起來，也就是積分累積的快慢與偏差e的大小和積分速度成正比。只要有偏差e存在，積分控制器的輸出就要改變，也就是說積分總是起作用的，只有偏差不存在時，積分才會停止。

對于恒定的偏差，調(diào)整積分作用的實質(zhì)就是改變控制器輸出的變化速率，這個速率是通過積分作用的輸出等于比例作用的輸出所需的一段時間來衡量的。積分時間小，表示積分速度大，積分作用就強；反之，積分時間大，則積分作用就弱。如果積分時間無窮大，表示沒有積分作用，控制器就成為純比例控制器。

實際上積分作用很少單獨使用，通常與比例作用一起使用，使其既具有把偏差放大(或縮小)的比例作用，又具有將偏差隨時間累積的積分作用，且其作用方向是一致的。

這時控制器的輸出為：△P=Ke+△Pi，式中△P為控制器輸出值的變化。Ke為比例作用引起的輸出，△Pi為積分作用引起的輸出。

微分控制主要是用來克服被控對象的滯后，是通過誤差的變化率預(yù)報誤差信號的未來變化趨勢。通過提供超前控制作用，微分控制能使被控過程趨于穩(wěn)定。因此，它經(jīng)常用來抵消積分控制產(chǎn)生的不穩(wěn)定趨勢。

不論比例調(diào)節(jié)作用，還是積分調(diào)節(jié)作用都是建立在產(chǎn)生誤差后才進行調(diào)節(jié)以消除誤差，都是事后調(diào)節(jié)，因此這種調(diào)節(jié)對穩(wěn)態(tài)來說是無差的，對動態(tài)來說肯定是有差的，因為對于負載變化或給定值變化所產(chǎn)生的擾動，必須等待產(chǎn)生誤差以后，然后再來慢慢調(diào)節(jié)予以消除。

但一般的控制系統(tǒng)，不僅對穩(wěn)定控制有要求，而且對動態(tài)指標也有要求。通常都要求負載變化或給定調(diào)整等引起擾動后，恢復(fù)到穩(wěn)態(tài)的速度要快。因此光有比例和積分調(diào)節(jié)作用還不能*要求，必須引入微分作用。

比例作用和積分作用是發(fā)生誤差后才進行調(diào)節(jié)，而微分作用則是事前預(yù)防控制，即一發(fā)現(xiàn)反饋值有變大或變小的趨勢，馬上就輸出一個阻止其變化的控制信號，以防止出現(xiàn)過沖或超調(diào)等。

D越大，微分作用越強，D越小，微分作用越弱。系統(tǒng)調(diào)試時通常把D從小往大調(diào)，具體參數(shù)由試驗決定。

PID控制器的參數(shù)整定是控制系統(tǒng)設(shè)計的核心內(nèi)容。它是根據(jù)被控過程的特性確定PID控制器的比例系數(shù)、積分時間和微分時間的大小。

PID控制器參數(shù)整定的方法很多，概括起來有兩大類：

利用此方法進行 PID控制器參數(shù)的整定步驟如下：

　　(1)首先預(yù)選擇一個足夠短的采樣周期讓系統(tǒng)工作；

　　(2)僅加入比例控制環(huán)節(jié)，將比例度逐漸減小，直到系統(tǒng)對輸入的階躍響應(yīng)出現(xiàn)臨界振蕩（等幅振蕩），記下這時的臨界比例度和臨界振蕩周期；

　　(3)在一定的控制度下通過公式計算得到PID控制器的參數(shù)。

① 在輸出不振蕩時，增大比例增益P；

② 在輸出不振蕩時，減小積分時間常數(shù)Ti；

③ 在輸出不振蕩時，增大微分時間常數(shù)Td。

① 確定比例增益P

　 確定比例增益P時，首先去掉PID的積分項和微分項，一般是令Ti=0、Td=0（具體見PID的參數(shù)設(shè)定說明），使PID為純比例調(diào)節(jié)。輸入設(shè)定為系統(tǒng)允許的最大值的60%~70%，由0逐漸加大比例增益P，直至系統(tǒng)出現(xiàn)振蕩；再反過來，從此時的比例增益P逐漸減小，直至系統(tǒng)振蕩消失，記錄此時的比例增益P，設(shè)定PID的比例增益P為當前值的60%~70%。比例增益P調(diào)試完成。

② 確定積分時間常數(shù)Ti

　 比例增益P確定后，設(shè)定一個較大的積分時間常數(shù)Ti的初值，然后逐漸減小Ti，直至系統(tǒng)出現(xiàn)振蕩。之后在反過來，逐漸加大Ti，直至系統(tǒng)振蕩消失。記錄此時的Ti，設(shè)定PID的積分時間常數(shù)Ti為當前值的150%~180%。積分時間常數(shù)Ti調(diào)試完成。

③ 確定微分時間常數(shù)Td

　 微分時間常數(shù)Td一般不用設(shè)定，為0即可。若要設(shè)定，與確定 P和Ti的方法相同，取不振蕩時的30%。

④ 系統(tǒng)空載、帶載聯(lián)調(diào)，再對PID參數(shù)進行微調(diào)，直至滿足要求。

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